ریاضی هشتم صفحه 111 - سوال 1
۱. با پر کردن جاهای خالی، مقدار تقریبی $\sqrt{2}$ و $\sqrt{200}$ را تا یک رقم اعشار به دست آورید. نتیجه را با آنچه ماشین حساب به دست میآورد، مقایسه کنید.
الف)
$$\sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{4}$$
پس:
$$1 < \sqrt{2} < \bigcirc$$
اکنون با نصف کردن فاصله ۱ تا ۲ روی محور، عدد $1/5$ را آزمایش میکنیم.
چون $(1/5)^2 = 2/25$، پس مقدار $\sqrt{2}$ حتماً کمتر از $\mathbf{1/5}$ است.
| عدد | $1/3$ | $1/4$ | $1/5$ |
|---|---|---|---|
| مجذور | $1/69$ | $1/96$ | $2/25$ |
ب) به کمک جدول بالا میتوان نوشت:
$$\sqrt{1/96} < \sqrt{2} < \bigcirc$$
بنابراین:
$$\bigcirc < \sqrt{2} < 1/5$$
$\sqrt{2} = $ ____________________
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 111 - سوال 1
این فعالیت به **تخمین زدن ریشه دوم (جذر)** اعداد اختصاص دارد. هدف این است که بدون استفاده مستقیم از ماشین حساب، مقدار $\sqrt{2}$ را پیدا کنیم.
### الف) تخمین $\sqrt{2}$
* ابتدا $\sqrt{2}$ را بین دو مجذور کامل میسنجیم: $1^2 = 1$ و $2^2 = 4$.
$$\sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{4}$$
* پس: $1 < \sqrt{2} < \mathbf{2}$
* **جواب جای خالی: $2$**
* حال فاصله بین ۱ و ۲ را با آزمایش عدد $1/5$ کم میکنیم:
$$(1/5)^2 = 2/25$$
* چون $2/25$ بزرگتر از $2$ است، پس $\sqrt{2}$ حتماً کمتر از $1/5$ است.
* با توجه به جدول مجذورها:
* $(1/4)^2 = 1/96$ (نزدیک به ۲ و کمتر از آن)
* $(1/5)^2 = 2/25$ (از ۲ بزرگتر است)
### ب) دقیقتر کردن تخمین (تا یک رقم اعشار)
* از جدول مشخص است که $\sqrt{2}$ باید بین $1/4$ و $1/5$ باشد، چون $1/96 < 2 < 2/25$.
$$\sqrt{1/96} < \sqrt{2} < \mathbf{\sqrt{2/25}}$$
* **جواب جای خالی (اول): $\mathbf{\sqrt{2/25}}$** (یا $\mathbf{\sqrt{(1/5)^2}}$)
* با ریشهگیری از طرفین:
$$\mathbf{1/4} < \sqrt{2} < 1/5$$
* **جواب جای خالی (دوم): $\mathbf{1/4}$**
### نتیجه تقریبی $\sqrt{2}$
* از آنجایی که $1/96$ (مجذور $1/4$) خیلی به ۲ نزدیک است، $\sqrt{2}$ به $1/4$ نزدیکتر است.
* با آزمایش $1/41$: $(1/41)^2 = 1/9881$
* با آزمایش $1/42$: $(1/42)^2 = 2/0164$
* مقدار $\sqrt{2}$ تا یک رقم اعشار: **$1/4$**
* **مقدار واقعی با ماشین حساب:** $\sqrt{2} \approx 1/414...$ (تا یک رقم اعشار $\mathbf{1/4}$)
